Question

【题目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=2，D、E分别为棱AB、BC的中点，点F在棱AA1上．
（1）证明：直线A1C1∥平面FDE；
（2）若F为棱AA1的中点，求三棱锥A1﹣DEF的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别为棱AB、BC的中点，

∴DE∥AC，

又A1C1∥AC，

∴A1C1∥DE；

又DE平面FDE，A1C1平面FDE，

∴直线A1C1∥平面FDE

（2）解：如图所示：

当F为棱AA1的中点时，AF= AA1=1，

三棱锥A1﹣ADE的体积为

= S△ADEAA1= × DEECAA1= ×1×1×2= ，

三棱锥F﹣ADE的体积为

VF﹣ADE= S△ADEAF= × DEEC AA1= ；

∴三棱锥A1﹣DEF的体积为

﹣VF﹣ADE= ﹣ = ．

【解析】（1）根据题意，证明DE∥AC，再证A1C1∥DE，从而证明直线A1C1∥平面FDE；（2）利用三棱锥A1﹣DEF的体积为 ﹣VF﹣ADE，即可求出结果．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．