Question

14．如图，已知在半径为4的⊙O中，AB，CD是⊙O的两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=$\sqrt{15}$．
（1）求证：AM•MB=EM•MC；
（2）求sin∠EOB的值．

Answer 1

分析 （1）连接AE，BC，由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再根据对顶角相等，利用两对应角相等的两三角形相似，得到三角形AEM与三角形CBM相似，由相似得比例，化简后即可得证；
（2）根据圆周角定理及勾股定理可求出CE的长，再由相交弦定理求出EM的长，根据所求EM的长与半径相等判断出△OEM为等腰三角形，过E作EF⊥OM，根据等腰三角形的性质及勾股定理可求出OF，EF的长，进而求出sin∠EOB的值．

解答 （1）证明：连接AE，BC，
∵∠AEC与∠MBC都为$\widehat{AC}$所对的圆周角，
∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（对顶角相等），
∴△AME∽△CMB，
∴AM：CM=EM：MB，即AM•MB=EM•MC；
（2）解：如图，∵DC为⊙O的直径，
∴DE⊥EC，
∵DC=8，DE=$\sqrt{15}$，
∴EC=$\sqrt{D{C}^{2}-D{E}^{2}}$=7，
设EM=x，由于M为OB的中点，
∴BM=2，AM=6，
∴AM•MB=x•（7-x），即6×2=x（7-x），
整理得：x²-7x+12=0，
解得：x₁=3，x₂=4，
∵EM＞MC，∴EM=4，
∵OE=EM=4，
∴△OEM为等腰三角形，
过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=$\frac{1}{2}$OM=1，
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴sin∠EOB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，其中证明切线的方法有两种：有点连接此点与圆心证直线与半径垂直；无点作垂线证明垂线段等于半径．