Question

5．如图，已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．PA=$\sqrt{5}$OC，OP=$\sqrt{6}$OC．
（1）证明：AB⊥平面POC；
（2）求二面角P-OA-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出OC⊥平面OAB，从而AB⊥OC，取AB中点D，连结OD，PD．则AB⊥OD，AB⊥PD，从而AB⊥PO，由此能证明AB⊥平面POC．
（2）过点P作PH⊥平面OAB，且交OD的延长线于点H，连接AH，则∠PAH为二面角P-OA-B的平面角，由此能求出二面角P-OA-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC，
∴OC⊥OA，OC⊥OB，又OA∩OB=O，∴OC⊥平面OAB，
又AB?平面OAB，∴AB⊥OC．　…（2分）
取AB中点D，连结OD，PD．则AB⊥OD，AB⊥PD．  …（3分）
∵OD∩PD=D，∴AB⊥平面POD，
∵PO?平面POD，∴AB⊥PO．…（5分）
AB⊥OC，OC∩PO=O，∴AB⊥平面POC．…（6分）
解：（2）由（1）知AB⊥平面POD，
∴平面OAB⊥平面POD，
且平面OAB∩平面POD=OD，
过点P作PH⊥平面OAB，且交OD的延长线于点H，连接AH，
PA=$\sqrt{5}OC$，OP=$\sqrt{6}OC$，由OA=OB=OC，
在△POA中，OP²=PA²+OA²，∴OA⊥PA，
又PH⊥OA，∴OA⊥平面PAH，
∴∠PAH为二面角P-OA-B的平面角，…（10分）
在直角△PHA中，cos$∠PAH=\frac{AH}{PA}$，…（11分）
由（1）知∠AOD=45°，∴△OAH为等腰直角三角形，
∴AH=OA=OC，∴cos$∠PAH=\frac{AH}{PA}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角P-OA-B的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．   …（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．