分析 (1)推导出OC⊥平面OAB,从而AB⊥OC,取AB中点D,连结OD,PD.则AB⊥OD,AB⊥PD,从而AB⊥PO,由此能证明AB⊥平面POC.
(2)过点P作PH⊥平面OAB,且交OD的延长线于点H,连接AH,则∠PAH为二面角P-OA-B的平面角,由此能求出二面角P-OA-B的余弦值.
解答 证明:(1)∵三棱锥O-ABC的三条侧棱OA,OB,OC两两垂直且OA=OB=OC,
∴OC⊥OA,OC⊥OB,又OA∩OB=O,∴OC⊥平面OAB,
又AB?平面OAB,∴AB⊥OC. …(2分)
取AB中点D,连结OD,PD.则AB⊥OD,AB⊥PD. …(3分)
∵OD∩PD=D,∴AB⊥平面POD,
∵PO?平面POD,∴AB⊥PO.…(5分)
AB⊥OC,OC∩PO=O,∴AB⊥平面POC.…(6分)
解:(2)由(1)知AB⊥平面POD,
∴平面OAB⊥平面POD,
且平面OAB∩平面POD=OD,
过点P作PH⊥平面OAB,且交OD的延长线于点H,连接AH,
PA=$\sqrt{5}OC$,OP=$\sqrt{6}OC$,由OA=OB=OC,
在△POA中,OP2=PA2+OA2,∴OA⊥PA,
又PH⊥OA,∴OA⊥平面PAH,
∴∠PAH为二面角P-OA-B的平面角,…(10分)
在直角△PHA中,cos$∠PAH=\frac{AH}{PA}$,…(11分)
由(1)知∠AOD=45°,∴△OAH为等腰直角三角形,
∴AH=OA=OC,∴cos$∠PAH=\frac{AH}{PA}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴二面角P-OA-B的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$. …(12分)
点评 本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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A. | 点O在圆外 | B. | 点O在圆上 | C. | 点O在圆内 | D. | 不能确定 |
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A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{π}{2}$ |
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