精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

【题目】设a为实数,函数fx=ex﹣2x+2ax∈R

1)求fx)的单调区间及极值;

2)求证:当aln2﹣1x0时,exx2﹣2ax+1

【答案】f(x)的单调递减区间是(ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a);()求证:当aln21x0时,exx22ax1

【解析】试题分析:(1)由,知.令,得.列表讨论能求出的单调区间区间及极值.

2)设,于是,由(1)知当时,最小值为,于是对任意,都有,所以内单调递增.由此能够证明

试题解析:解:∵fx=ex﹣2x+2ax∈R

∴f′x=ex﹣2x∈R

f′x=0,得x=ln2

于是当x变化时,f′x),fx)的变化情况如下表:

fx)的单调递减区间是(﹣∞ln2),

单调递增区间是(ln2+∞),

fx)在x=ln2处取得极小值,

极小值为fln2=eln2﹣2ln2+2a=21﹣ln2+a),无极大值.

2)证明:设gx=ex﹣x2+2ax﹣1x∈R

于是g′x=ex﹣2x+2ax∈R

由(1)知当aln2﹣1时,

g′x)最小值为g′ln2=21﹣ln2+a)>0

于是对任意x∈R,都有g′x)>0,所以gx)在R内单调递增.

于是当aln2﹣1时,对任意x∈0+∞),都有gx)>g0).

g0=0,从而对任意x∈0+∞),gx)>0

ex﹣x2+2ax﹣10

exx2﹣2ax+1

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知向量 ,其中 ,k∈R.
(1)当k为何值时,有
(2)若向量 的夹角为钝角,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置,使得A′C=2

(1)求五棱锥A′﹣BCDFE的体积;
(2)求平面A′EF与平面A′BC的夹角.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】某品牌汽车4s店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如表所示:

付款方式

分1期

分2期

分3期

分4期

分5期

频数

40

20

a

10

b

已知分3期付款的频率为0.2,4s店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元,分2期或3期付款其利润为1.5万元,分4期或5期付款,其利润为2万元,用Y表示经销一辆汽车的利润.

1求上表中ab的值.

2若以频率作为概率,求事件A购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有一位采用3期付款的概率PA

3Y的分布列及数学期望EY.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】如图,摩天轮的半径OA,它的最低点A距地面的高度忽略不计.地面上有一长度为的景观带MN,它与摩天轮在同一竖直平面内,.P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B,.

(),求点P距地面的高度PQ;

(),写出用表示y的函数关系式,并求y的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为x,第二次出现的点数为y.
(1)求事件“x+y≤3”的概率;
(2)求事件“|x﹣y|=2”的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】(本小题满分12分)

某港湾的平面示意图如图所示, 分别是海岸线上的三个集镇, 位于的正南方向6km处, 位于的北偏东方向10km处.

(Ⅰ)求集镇 间的距离;

(Ⅱ)随着经济的发展,为缓解集镇的交通压力,拟在海岸线上分别修建码头,开辟水上航线.勘测时发现:以为圆心,3km为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行.请确定码头的位置,使得之间的直线航线最短.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】甲、乙两人投篮命中的概率为别为 ,各自相互独立,现两人做投篮游戏,共比赛3局,每局每人各投一球.
(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率;
(2)设ξ表示比赛结束后,甲、乙两人进球数的差的绝对值,求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元). (Ⅰ)将y表示为x的函数:
(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.

查看答案和解析>>

同步练习册答案