Question

如图，直线l₁和l₂相交于点M且l₁⊥l₂，点N∈l₁．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=

17

，|AN|=3，且|BN|=6．
（1）曲线段C是哪类圆锥曲线的一部分？并建立适当的坐标系，求曲线段C所在的圆锥曲线的标准方程；
（2）在（1）所建的坐标系下，已知点P（m，n）在曲线段C上，直线l：mx+ny=1，求直线l被圆x²+y²=1截得的弦长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知曲线段C是抛物线的一部分．分别以l₁、l₂为x、y轴，M为坐标原点．作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分别为E、D、F．设A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）、N（x_N，0），依题意有x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3，由此能求出曲线段C的方程．
（2）由点P（m，n）在曲线段C上，知n²=8m（1≤m≤4，n＞0），圆x²+y²=1的圆心到直线l：mx+ny=1的距离为d=

1

m2+n2

，则直线l被圆x²+y²=1截得的弦长t=2

1-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 m2+8m

，（1≤m≤4），由此能求出直线l被圆x²+y²=1截得的弦长的取值范围．

解答：解：（1）∵直线l₁和l₂相交于点M且l₁⊥l₂，点N∈l₁．
以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．
△AMN为锐角三角形，|AM|=

17

，|AN|=3，且|BN|=6．
∴曲线段C是抛物线的一部分．
如图建立坐标系，分别以l₁、l₂为x、y轴，M为坐标原点．
作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分别为E、D、F．
设A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）、N（x_N，0）
依题意有x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3，
y_A=|DM|=

|AM|2-|DA|2

=2

2

由于△AMN为锐角三角形，
故有x_N=|ME|+|EN|=|ME|+

|AN|2-|AE|2

=4，
x_B=|BF|=|BN|=6．
设点P（x，y）是曲线段C上任一点，
则由题意知P属于集合
{（x，y）|（x-x_N）²+y²=x²，x_A≤x≤x_B，y＞0}
故曲线段C的方程为y²=8（x-2）（3≤x≤6，y＞0）．
（2）∵点P（m，n）在曲线段C上，
∴n²=8m（1≤m≤4，n＞0），
圆x²+y²=1的圆心到直线l：mx+ny=1的距离为d=

1

m2+n2

，
则直线l被圆x²+y²=1截得的弦长
t=2

1-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 m2+8m

，（1≤m≤4），
∵1≤m≤4，
∴9≤m²+8m≤48，
∴

8

9

≤1-

1

m2+8m

≤

47

48

，
∴

4 2

3

≤t≤

141

6

，
∴直线l被圆x²+y²=1截得的弦长的取值范围为[

4 2

3

，

141

6

]．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．