Question

7．已知经过P（4，-2），Q（-1，3）两点的圆C半径小于5，且在y轴上截得的线段长为$4\sqrt{3}$，
（I）求圆C的方程；
（II）已知直线l∥PQ，若l与圆C交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，根据经过P（4，-2），Q（-1，3）两点的圆C半径小于5，且在y轴上截得的线段长为$4\sqrt{3}$，求出D，E，F，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．

解答 解：（Ⅰ）  设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令x=0⇒y²+Ey+F=0，∴y₁+y₂=-E，y₁•y₂=F，
∴$4\sqrt{3}=|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}•{y_2}}=\sqrt{{E^2}-4F}$，
∴E²-4F=48①…（2分）
又圆过P（4，-2），Q（-1，3）两点，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{16+4+4D-2E+F=0}\\{1+9-D+3E+F=0}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{4D-2E+F=-20}\\{-D+3E+F=-10}\end{array}}\right.$⇒2E+F=-12…②
由 ①②得：$\left\{{\begin{array}{l}{D=2}\\{E=0}\\{F=-12}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{D=-10}\\{E=-8}\\{F=4}\end{array}}\right.$…（4分）
∵圆的半径小于5，∴圆的方程为x²+y²-2x-12=0…（6分）
（Ⅱ）${k_{PQ}}=\frac{3-（-2）}{-1-4}=-1$，∴设l的方程为：x+y+m=0…（7分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{x+y+m=0}\\{{x^2}+{y^2}-2x-12=0}\end{array}}\right.$⇒2x²+（2m-2）x+m²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=1-m，{x_1}•{x_2}=\frac{{{m^2}-12}}{2}$…（9分）
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，…（10分）
∴x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+（-x₁-m）•（-x₂-m）=0
整理得：m²+m-12=0⇒m=3或m=-4，…（11分）
且m=3或m=-4均满足△＞0…（12分）
∴l的方程为x+y+3=0或x+y-4=0…（13分）

点评 本题考查直线与圆的综合问题，考查直线方程的求解方法和圆方程的求解方法，注意待定系数法的运用，考查学生对直线与圆相交弦长有关问题的处理方法，考查设而不求思想的运用，考查方程思想和转化与化归的思想，是中档题．