Question

【题目】已知函数．

（1）求证：当时，在上存在最小值；

（2）若是的零点且当时，，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）将代入，对函数进行求导，根据零点存在定理可得在上有唯一零点，判断单调性即可得结果；

（2）由为函数零点，将用表示可得，当时，通过求导可得在上单调递增，从而可得结果；，则取，验证，即时，不满足题意，综合可得结果.

（1）的定义域为.

当时，，.

因为当时，，

所以在上单调递增，

又，.

所以在上有唯一零点，

且当时，；

当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在上存在最小值.

（2）因为是函数的零点，

所以，即，即，

所以，所以．

①若，则当时，．

所以在上单调递增，

所以当时，，

所以满足题意．

②若，则取，

因为，且．

所以不满足题意．

综上，的取值范围．