Question

（2012•洛阳模拟）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．
求证：（1）CE=DE；
（2）

CA

CE

=

PE

PB

．

Answer 1

分析：（1）由弦切角定理是，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE
（2）先由AA证明出△PBC∽△ECD，进而证得△PBC∽△PEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论．

解答：解：（1）PE切圆O于点E
∴∠A=∠BEP
∵PC平分∠APE，
∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE
∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE
∴∠ECD=∠EDC，
∴EC=ED
（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD
∴∠PDB=∠PCE
∵∠BPD=∠EPC
∴△PDB∽△PEC
∴

PE

PB

=

PC

PD

同理△PDE∽△PCA
∴

PC

PD

=

CA

DE

∴

PE

PB

=

CA

DE

∵DE=CE
∴

CA

CE

=

PE

PB

点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．