Question

已知函数f(x)=x³+bx²+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)求函数y=f(x)的单调区间.

Answer 1

解:(1)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,

∴f(x)=x³+bx²+cx+2.∴f′(x)=3x²+2bx+c.

由在点M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,且f′(-1)=6.

∴

即

解得b=c=-3.

故所求的解析式是f(x)=x³-3x²-3x+2.

(2)f′(x)=3x²-6x-3.

令3x²-6x-3=0,

即x²-2x-1=0.

解得x₁=1-,x₂=1+.

当x＜1-或x＞1+时,f′(x)＞0;

当1-＜x＜1+2时,f′(x)＜0.

故f(x)=x³-3x²-3x+2在(-∞,1-)、(1+,+∞)内是增函数,在(1-,1+)内是减函数.

绿色通道:

本题解题方法是:

(1)根据条件列出方程组,从而求出b、c、d的值.

(2)求出f′(x),通过解不等式使问题解决.