Question

（1）设a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，求证

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9．
（2）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）＞6abc．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由于a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，可得

1

a

+

1

b

+

1

c

=（a+b+c）(

1

a

+

1

b

+

1

c

)，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）由于a，b，c是正数，利用基本不等式可得：a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
即可c（a²+b²）≥2abc，a（b²+c²）≥2abc，b（a²+c²）≥2abc．即可得出．

解答： 解：（1）∵a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=（a+b+c）(

1

a

+

1

b

+

1

c

)≥3

3	abc

•3•

3	1 a • 1 b • 1 c

=9，当且仅当a=b=c=

1

3

时取等号．
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9．
（2）∵a，b，c是正数，∴a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
∴c（a²+b²）≥2abc，a（b²+c²）≥2abc，b（a²+c²）≥2abc．
∴a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）≥6abc．
∵a，b，c是不全相等的正数，∴等号不成立．
∴a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）＞6abc．

点评：本题考查了基本不等式的性质、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．