Question

如图所示的多面体中，已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，CD=8．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面BCF；
（Ⅱ）设二面角E-BC-F的平面角为θ，求cosθ的值；
（Ⅲ）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B，C，E，F，利用

BD

•

BC

=0，

BD

•

CF

=0，然后证明BD⊥平面BCF．
（Ⅱ）通过

BD

是平面BCF的一个法向量，设平面BCE的一个法向量

n2

=(x，y，z)，通过

n2 • BC =0 n2 • BE =0

，求出

n2

，然后利用数量积求出cosθ的值．
（Ⅲ）设P（0，0，a），（0≤a≤4），P为DE上一点，通过

MP

⊥

n2

，求出a=1．推出MP∥平面BCE．

解答：（Ⅰ）证明：以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（4，4，0），
C（0，8，0），E（0，0，4），F（0，8，4），
∵

BD

•

BC

=(-4，-4，0)•(-4，4，0)=16-16=0，

BD

•

CF

=(-4，-4，0)•(0，0，4)=0，
∴BD⊥BC，BD⊥CF，且BC与CF相交于C，
∴BD⊥平面BCF．（3分）
（Ⅱ）解：∵BD⊥平面BCF，

BD

是平面BCF的一个法向量

n1

=(-4，-4，0)，
设平面BCE的一个法向量

n2

=(x，y，z)，
则

n2 • BC =(x，y，z)•(-4，4，0)=0 n2 • BE =(x，y，z)•(-4，-4，4)=0

⇒

x-y=0 x+y-z=0

　取

n2

=（1，1，2），
则cosθ=|

4+4

16+16 1+1+4

|=

1

3

=

3

3

． （6分）
（Ⅲ）解：∵M（2，0，0），设P（0，0，a），（0≤a≤4），P为DE上一点，
则

MP

=(-2，0，a)，
∵MP∥平面BCE，
∴

MP

⊥

n2

⇒

MP

•

n2

=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0⇒a=1．
∴当DP=1时，MP∥平面BCE．（9分）

点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力．