Question

13．如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x交抛物线y=-x²+bx+c对称轴右侧的抛物线于点P，连接PA、PC，设△AOP的面积为S₁，△COP的面积为S₂．
（1）①若A、C两点坐标分别为（3，0），（0，3），求抛物线y=-x²+bx+c的解析式；
②试判断S₁与S₂之间的关系，并说明理由；
（2）将（1）中的抛物线沿x轴正方向平移，在平移过程中，是否存在点P，使S₁=2S₂，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①若A、C两点坐标分别为（3，0），（0，3），代入可构造关于b，c的方程，进而可得抛物线y=-x²+bx+c的解析式；②根据①中A，C两点坐标，求出P点坐标，求出S₁与S₂，进而可得S₁与S₂之间的关系．
（2）假定将（1）中的抛物线沿x轴正方向平移，在平移过程中，是否存在点P，使S₁=2S₂，利用反证法，可得答案．

解答 解：（1）①若A、C两点坐标分别为（3，0），（0，3），
则$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=-x²+2x+3；
②令-x²+2x+3=x，
解得：x=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，或x=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$（舍去），
即P（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$），
则S₁=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$=$\frac{3（1+\sqrt{13}）}{4}$，
S₂=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$=$\frac{3（1+\sqrt{13}）}{4}$，
显然S₁=S₂．
（2）将（1）中的抛物线沿x轴正方向平移，在平移过程中，假设存在点P，使S₁=2S₂，
设满足条件的P点坐标为（x，x），x＞0，
则S₁=$\frac{1}{2}$×3x=$\frac{3}{2}$x，
S₂=$\frac{1}{2}$×3x=$\frac{3}{2}$x；
若S₁=2S₂，则x=2x，
解得x=0（舍去），
故不存在满足条件的P点．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．