[题目]已知三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上.且满足...则三棱锥的侧面积的最大值为( )A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，且满足，，，则三棱锥的侧面积的最大值为（）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

【答案】C

【解析】

由已知，三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为的球面上，且满足：=0，=0，=0，则在P点处PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值．

∵=0，=0，=0，

∴PA，PB，PC两两垂直，

又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，

∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．

∴16=PA2+PB2+PC2，

则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PAPB，PA2+PC2≥2PAPC，PB2+PC2≥2PBPC，

即16=PA2+PB2+PC2≥PAPB+PBPC+PAPC

则三棱锥P﹣ABC的侧面积S=（PAPB+PBPC+PAPC）≤8，

则三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值为8，

故选：C．

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