Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1
（Ⅰ）求证：AB⊥PD
（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB
（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB⊥AD，又AB⊥PA，可证线面垂直AB⊥平面PAD，利用线面垂直的性质可证AB⊥PD．
（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF，通过证明四边形BCEG是平行四边形，可证EC∥BF，利用线面平行的判定定理即可证明CE∥平面PAB．
（Ⅲ）在平面ABCD上，延长AB，CD交于点M，由于平面PAB∩平面PCD=PM，通过证明PA=$\sqrt{2}$，AM⊥PA，利用勾股定理即可得解．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，
所以AB⊥AD，…（1分）
又因为AB⊥PA，…（2分）
所以AB⊥平面PAD，…（3分）
所以AB⊥PD…（4分）
（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF…（5分）
因为E为棱PD中点，所以EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，
又因为BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，
所以BC∥EF，BC=EF．
所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF…（8分）
又BF?平面PAB，CE?平面PAB，
所以CE∥平面PAB…（9分）
（Ⅲ）在平面ABCD上，延长AB，CD交于点M．
因为M∈AB，
所以M∈平面PAB；又M∈CD，
所以M∈平面PCD，
所以平面PAB∩平面PCD=PM…（11分）
在△ADM中，因为BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，
所以 AM=2AB=2…（12分）
因为PA⊥PD，
所以△APD是等腰直角三角形，所以PA=$\sqrt{2}$…（13分）
由（Ⅰ）得AM⊥平面PAD，所以AM⊥PA．
在直角△PAM中，PM=$\sqrt{P{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$…（14分）

点评 本题主要考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的判定定理，勾股定理的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．