Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且经过点（0，1），四边形MNPQ的四个顶点都在椭圆C上，对角线MP所在直线的斜率为-1，且MN=MQ，PN=PQ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求四边形MNPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且经过点（0，1），列出方程组求解a，b即可．
（Ⅱ）设MP，NQ所在直线方程分别为y=-x+m，y=x+n，N（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），NQ中点P（x₀，y₀）．利用直线与椭圆联立方程组，利用判别式以及韦达定理，通过两点间距离公式，求出四边形面积表达式，利用0≤n²＜4，所以0≤m²＜1．求解四边形MNPQ面积的最大值．

解答 （本题满分8分）
解：（Ⅰ）根据题意得，$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ b=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}.\end{array}\right.$解得$a=\sqrt{3}$．
所求椭圆方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．…（3分）
（Ⅱ）因为MN=MQ，PN=PQ，所以对角线MP垂直平分线段NQ．
设MP，NQ所在直线方程分别为y=-x+m，y=x+n，N（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），NQ中点P（x₀，y₀）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=3\\ y=x+n\end{array}\right.$得4x²+6nx+3n²-3=0．
令△=48-12n²＞0，得n²＜4.${x_1}+{x_2}=-\frac{3n}{2}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{n^2}-3}}{4}$．
则$|NQ|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{6（4-{n^2}）}}}{2}$．
同理$|MP|=\frac{{\sqrt{6（4-{m^2}）}}}{2}$．
所以${S_{四边形MNPQ}}=\frac{1}{2}|MP||NQ|=\frac{{3\sqrt{（4-{m^2}）（4-{n^2}）}}}{4}$．
又因为${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3}{4}n$，所以NQ中点$P（-\frac{3}{4}n，\frac{1}{4}n）$．
由点A在直线MP上，得n=-2m，
所以${S_{四边形MNPQ}}=\frac{1}{2}|MP||NQ|=\frac{{3\sqrt{（4-{m^2}）（1-{m^2}）}}}{2}$．
因为0≤n²＜4，所以0≤m²＜1．
所以当m=0时，四边形MNPQ面积的最大值为3．…（8分）

点评 本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．