Question

6．数列{F_n}满足F₁=1，F₂=1，F_n+2=F_n+1+F_n（n∈N^*），求证：$\frac{1}{{F}_{1}}$+$\frac{1}{{F}_{2}}$+…+$\frac{1}{{F}_{n}}$+…＜4．

Answer 1

分析 由数列递推式可得数列为递增数列，得到F_n+2＞2F_n，然后分n为奇数和偶数采用放缩法证得数列不等式．

解答 证明：由题意知：F_n＞0，
∴F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+1，
∴{F_n}为递增数列．
∴F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+F_n，
即F_n+2＞2F_n，
当n为奇数时，
∴F₅＞2F₃=2×2，F₇＞2F₅＞2²F₃=2²×2，…，F_n＞${2}^{\frac{n-3}{2}}$×2，
∴F₆＞2F₄=2×3，F₈＞2F₆＞2²F₄=2²×3，…，F_n-1＞${2}^{\frac{n-5}{2}}×3$．
∴$\frac{1}{{F}_{1}}$+$\frac{1}{{F}_{2}}$+…+$\frac{1}{{F}_{n}}$+…＜1+1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{\frac{n-1}{2}}}$）+（$\frac{1}{\sqrt{2}×3}+\frac{1}{3\sqrt{2}×2}+\frac{1}{3\sqrt{2}×{2}^{2}}+…+$$\frac{1}{3\sqrt{2}×{2}^{\frac{n-6}{2}}}$）
=2+$\frac{5}{6}$$+\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{\frac{n-3}{2}}}）}{1-\frac{1}{2}}$$+\frac{1}{3\sqrt{2}}×\frac{1-\frac{1}{{2}^{\frac{n-4}{2}}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{20+2\sqrt{2}}{6}＜4$；
当n为偶数时，同理可证$\frac{1}{{F}_{1}}$+$\frac{1}{{F}_{2}}$+…+$\frac{1}{{F}_{n}}$+…＜4．
综上，$\frac{1}{{F}_{1}}$+$\frac{1}{{F}_{2}}$+…+$\frac{1}{{F}_{n}}$+…＜4．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列与不等式的综合，考查了数列的函数特性，训练了放缩法证明数列不等式，综合性强，难度大．