Question

抛物线C的方程为y=ax²(a＜0),过抛物线C上一点P(x₀,y₀)(x₀≠0)作斜率分别为k₁、k₂的两条直线交抛物线C于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点(P、A、B三点互不相同),且满足k₂+λk₁=0(λ≠0且λ≠-1).

(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;

(2)设直线AB上一点M满足=λ,证明线段PM的中点在y轴上;

(3)当λ=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围.

Answer 1

(1)解：由抛物线C的方程y=ax²(a＜0＝,得焦点坐标为(0,),准线方程为y=-.

(2)证明：设直线PA的方程为y-y₀=k₁(x-x₀),直线PB的方程为y-y₀=k₂(x-x₀).

    点P(x₀,y₀)和点A(x₁,y₁)的坐标是方程组

的解,将（2）代入（1）得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0,于是x₁+x₀=,x₁=-x₀                (3)

    又点P(x₀,y₀)和点B(x₂,y₂)的坐标是方程组

的解.将（5）代入（4）得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0,于是x₂+x₀=,x₂=-x₀.（6）

    由已知k₂=-λk₁,

    则x₂=--x₀.

    设点M的坐标为(x_M,y_M),由=λ,则

x_M===-x₀.∴x_M+x₀=0,即线段PM的中点在y轴上.

(3)解：∵点P(1,-1)在抛物线y=ax²上,∴a=-1,抛物线的方程为y=-x².

    由（3）式知x₁=-k₁-1,代入y=-x²得y₁=-(k₁+1)².

    将λ=1代入（6）式得x₂=k₁-1,代入y=-x²得y₂=-(k₁-1)².

∴A(-k₁-1,-k₁²-2k₁-1)、B(k₁-1,-k₁²+2k₁-1).

    于是=(k₁+2,k₁²+2k₁),

=(2k₁,4k₁).

·=2k₁(k₁+2)+4k₁(k₁²+2k₁)=2k₁(k₁+2)(2k₁+1).

∵∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同,故·＜0,即2k₁(k₁+2)(2k₁+1)＜0.

∴k₁＜-2或-＜k₁＜0.

    又点A的纵坐标y₁满足y₁=-(k₁+1)²,故

    当k₁＜-2时,y₁＜-1;

    当-＜k₁＜0时,-1＜y₁＜-.

∴∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,-).