Question

数列A_n的前m项为A₁，A₂，…，A_m，若对任意正整数n，有A_（n+m）=A_n•q（其中q为常数，q不等于0，1），则称数列A_n是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列．已知似周期性等比数列B_n的前7项为1，1，1，1，1，1，2，周期为7，周期公比为3，则数列B_n前7k+1项的和

 

．（k为正整数）．

Answer 1

分析：根据已知条件可以理解并把握似周期性等比数列的定义，弄清周期和周期公比的含义，将所求的数列的和问题转化为学过的等比数列求和是解决本题的关键，注意找准他们的联系．

解答：解：把B_n的每七项求和的数列设为C_n，也就是说 C₁=B₁+B₂+…+B₇，C_k=B _7k-6+B_7k-5+…+B_7k，因此，求B_n前7k项之和就是求C_n前k项之和．
由于B_n是周期为7的似周期性等比数列，所以

Bn+7

Bn

=3，那么不难知道C_n+1与C_n作为和，每一部分都对应比为3，所以

Cn+1

Cn

=3．
由等比数列求和公式，可得为c₁+c₂+c₃+…+c_k⁼4×3^k-4．这就是数列B_n前7k项之和，最后就是加上B_7k+1这一项，由于B_7k+1=B₁×3^k=3^k．
因此，数列B_n前7k+1项和就是4×3^k-4+3^k₌5•3^k-4．
故答案为：5•3^k-4．

点评：本题考查新定义型问题的解决方法，考查学生对新定义的问题的理解和把握程度，弄清新定义数列与学过数列的关系，考查学生的转化与化归能力、等比数列求和的知识，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．