【题目】设椭圆 1(a>
)的右焦点为F,右顶点为A,已知
,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
【答案】
(1)
解:由 ,
得 +
=
,
即 =
,
∴a[a2﹣(a2﹣3)]=3a(a2﹣3),解得a=2.
∴椭圆方程为 ;
(2)
解:由已知设直线l的方程为y=k(x﹣2),(k≠0),
设B(x1,y1),M(x0,k(x0﹣2)),
∵∠MOA=∠MAO,
∴x0=1,
再设H(0,yH),
联立 ,得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0.
△=(﹣16k2)2﹣4(3+4k2)(16k2﹣12)=144>0.
由根与系数的关系得 ,
∴ ,
,
MH所在直线方程为y﹣k(x0﹣2)=﹣ (x﹣x0),
令x=0,得yH=(k+ )x0﹣2k,
∵BF⊥HF,
∴ ,
即1﹣x1+y1yH=1﹣ [(k+
)x0﹣2k]=0,
整理得: =1,即8k2=3.
∴k=﹣ 或k=
【解析】(1)由题意画出图形,把|OF|、|OA|、|FA|代入 +
=
,转化为关于a的方程,解方程求得a值,则椭圆方程可求;
(2)由已知设直线l的方程为y=k(x﹣2),(k≠0),联立直线方程和椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求得B的坐标,再写出MH所在直线方程,求出H的坐标,由BF⊥HF,得 ,整理得到M的坐标与k的关系,由∠MOA=∠MAO,得到x0=1,转化为关于k的等式求得k的值.
本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法,考查运算能力,是难题.
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【题目】已知MOD函数是一个求余函数,记MOD(m,n)表示m除以n的余数,例如MOD(8,3)=2.如图是某个算法的程序框图,若输入m的值为48时,则输出i的值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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【题目】已知关于 的二次函数
(Ⅰ)设集合和
,分别从集合
中随机取一个数作为
和
,
在区间
上是增函数的概率.
(Ⅱ)设点是区域
内的随机点,求函数
在区间
上是增函数的概率.
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【题目】2017年,在国家创新驱动战略下,北斗系统作为一项国家高科技工程,一个开放型的创新平台,1400多个北斗基站遍布全国,上万台套设备组成星地“一张网”,国内定位精度全部达到亚米级,部分地区达到分米级,最高精度甚至可以达到厘米或毫米级。最近北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备,已知这台设备从启用的第一天起连续使用,第天的维修保养费为
元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了多少天,平均每天耗资多少钱?
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【题目】设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R。
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)存在极点x0 , 且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0 , 求证:x1+2x0=3;
(3)设a>0,函数g(x)=∣f(x)∣,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于
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【题目】动点分别到两定点
连线的斜率的乘积为
,设
的轨迹为曲线
分别为曲线
的左、右焦点,则下列命题中:
(1)曲线的焦点坐标为
;
(2)若,则
;
(3)当时,△
的内切圆圆心在直线
上;
(4)设,则
的最小值为
;
其中正确命题的序号是:______________.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A、B两点,∣AB∣=
,求l的斜率。
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【题目】铜仁市某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
K2=
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