Question

已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。

（1）　　　 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

（2）　　　 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；

（3）　　　 对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1.

Answer 1

解 （1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),

由已知得  =alnx，

=，     解德a=,x=e²,

两条曲线交点的坐标为（e²,e）   切线的斜率为k=f’(e^{2)= ,}

切线的方程为y-e=(x- e₂).

（1）       当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,

所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；

当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。

所以x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。

所以Φ （a）=h()= 2a-aln=2

（2）当a  ≤   0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。

故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)

（3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)

则 Φ ¹（a ）=-2ln2a，令Φ ¹（a ）=0 解得 a =1/2

当  0<a<1/2时，Φ ¹（a ）>0，所以Φ （a ）  在(0,1/2) 上递增

当  a>1/2  时， Φ ¹（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。

所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1

因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值

所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a）  ≤  1