【答案】
分析:(方法1)以A为原点,AD所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,以四边形ABCD的边长为单位长度建立空间直角坐标系.设P(0,0,h).
(Ⅰ) 求出
的坐标,通过证明
的数量积为0来证明PC⊥DB
(Ⅱ)分别求出面CPA,面CPD的一个法向量,利用两法向量夹角与二面角的大小关系,通过解关于h的方程即可.
(方法2)( I )由已知,PC在面ABCD内的射影是AC.且有AC⊥BD,由三垂线定理即可证明 PC⊥DB
(II) 设AC、BD交于E.在面CPA内,作EF⊥CP于F,连接DF,由三垂线定理得DF⊥CP.得出∠DEF就是二面角A-PD′-C的平面角,利用解三角形知识求出AP.
解答:解:(方法1)以A为原点,AD所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,以四边形ABCD的边长为单位长度建立空间直角坐标系.设P(0,0,h).
(I)
,
,
,所以PC⊥DB.(4′)
(II)∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥DB.又PC⊥DB,
∴DB⊥面CPA,所以面CPA的一个法向量是
.(6′)
,
.
设面CPD的一个法向量为
,
则有
,
.所以
.(8′)
.(10′)
由于二面角D-PC-A的平面角与
相等或互补,∴
,
∴h=1.即当AP的长度为1时,二面角D-PC-A的大小为60°(12′)
(方法2)(I)∵PA⊥面ABCD∴PC在面ABCD内的射影是AC.四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,由三垂线定理得PC⊥BD.(4′)
(II)设AC、BD交于E.在面CPA内,作EF⊥CP于F,连接DF.
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥DB.
又PC⊥DB,∴DB⊥面CPA,EF是DF在面CPA上的射影,由三垂线定理得DF⊥CP.∠DEF就是二面角A-PD′-C的平面角(8′).
由△CFE~△CAP,得
,
∴
.
解得AP=1.即当AP的长度为1时,二面角D-PC-A的大小为60°.(12′)
点评:本题主要考查空间角,距离的计算,线线垂直的证明,空间角的度量. 考查了空间想象能力、计算能力,分析解决问题能力.空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法,
通过建立空间直角坐标系,利用向量的坐标运算,来进行有关证明或计算,则可以有效地降低思维难度.