【题目】选修4-5:不等式选讲
已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,正数满足,证明: .
【答案】(1) 当时,在区间上单调递增,当时,在和上单调递增,在上单调递减.
(2)证明见解析.
【解析】分析:(1)分析单调性首先确定定义域,然后求导得,再确定分子的符号即可得出单调性,此时二次函数的对称轴未知所以可结合二次函数图形进行分析讨论;(2)因为当时,,由(1)可知在区间上单调递增.又易知,且,不妨设,要证,只需证,只需证,即证,即证.构造函数,.分析函数单调性求出最值即可.
详解:
(1)解:的定义域为,
,
令,.
①当时,,
所以对恒成立,则在区间上单调递增.
②当或时,,令,得,.
(i)当时,,
所以对恒成立,则在区间上单调递增.
(ii)当时,.
若,,函数单调递增;
若,,函数单调递减;
若,,函数单调递增.
综上所述:当时,在区间上单调递增.当时,在和上单调递增;在上单调递减.
(2)证明:当时,,由(1)可知在区间上单调递增.
又易知,且,不妨设,
要证,只需证,
只需证,即证,
即证.
构造函数,.
所以 ,,
.
当时,,所以函数在区间上单调递增,
则.
所以得证,从而.
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【题目】柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据:
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为的雾霾天数.
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【题目】已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
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【题目】[选修4-4 , 坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),直线l的参数方程为 (t为参数).(10分)
(1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为 ,求a.
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【题目】在海岸A处,发现北偏东方向,距离A为 n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西方向,距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以n mile / h的速度追截走私船,此时,走私船正以10 n mile / h的速度从B处向北偏东方向逃窜,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间。(本题解题过程中请不要使用计算器,以保证数据的相对准确和计算的方便)
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【题目】在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6和4名女志愿者B1 , B2 , B3 , B4 , 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(12分)
(Ⅰ)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.
(Ⅱ)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.
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【题目】已知某海滨浴场海浪的高度(米)是时间的(,单位:小时)函数,记作,下表是某日各时的浪高数据:
(时) | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
(米) | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 0.99 | 1.5 |
经长期观察,的曲线,可以近似地看成函数的图象.
(1)根据以上数据,求出函数近似表达式;
(2)依据规定,当海浪高度高于米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午时至晚上时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?
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【题目】如图,将边长为6的等边三角形各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正三棱柱形的容器.
(1)若这个容器的底面边长为,容积为,写出关于的函数关系式并注明定义域;
(2)求这个容器容积的最大值.
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