Question

（2009•黄冈模拟）已知m=(cosωx+sinωx，

3

cosωx)，n=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）=m•n，且f（x）的对称中心到f（x）对称轴的最近距离不小于

π

4

（Ⅰ）求ω的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，当ω取最大值时，f（A）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先将函数化简得：f（x）=2sin(2ωx+

π

6

)，由于函数f（x）的周期T=

2π

2ω

=

π

ω

，由题意知

T

4

≥

π

4

，即

1

ω

≥1，又ω＞0，从而可确定ω的取值范围；
（Ⅱ）由（I）知ω的最大值为1，所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)．利用f（A）=1，可求A=

π

3

．由余弦定理可知：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴b²+c²-bc=1，又b+c=2，从而可求得：

b=1 c=1

或

b=1 c=1

，故可求△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=m•n=cos2ωx-sin2ωx+2

3

sinωx•cosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)（3分）∵ω＞0，∴函数f（x）的周期T=

2π

2ω

=

π

ω

，由题意知

T

4

≥

π

4

，即

1

ω

≥1，
又ω＞0，∴0＜ω≤1．故ω的取值范围是{ω|0＜ω≤1}（6分）
（Ⅱ）由（I）知ω的最大值为1，∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
∵f（A）=1，∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

．而

π

6

＜2A+

π

6

＜

13

6

π，∴2A+

π

6

=

5

6

π，∴A=

π

3

．　　　　　　（9分）
由余弦定理可知：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴b²+c²-bc=1，又b+c=2．联立解得：

b=1 c=1

或

b=1 c=1

．
∴S△ABC=

1

2

bc•sinA=

3

4

．（13分）

点评：本题主要考查例用辅助角公式转化成正弦型函数，考查余弦定理的运用及三角形的面积公式，有一定的综合性．