Question

正三棱锥P-ABC各顶点都在一个半径为2的球面上，球心到底面ABC的距离为1，求此正三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：求出三角形ABC所在小圆半径，求出三角形的边长，推出三角形的面积，然后通过棱锥的体积公式求出体积即可．

解答：解：△ABC所在小圆半径r=

22-12

=

3

，   △ABC的高为

3 3

2

，
三角形的边长为b，由于

3

2

b=

3 3

2

，解得b=3
⇒S△ABC=

1

2

×3×

3 3

2

= 

9 3

4

（3分）
球心到平面ABC的距离为1⇒三棱锥的高h=2-1=1或h=2+1=3；                  （4分）
综上VP-ABC=

1

3

S△ABC•h=

9 3

4

或

3 3

4

（5分）

点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的有关知识，求出三角形的边长与三角形的面积是解题的关键，考查计算能力．