Question

20．已知A，B，C，D是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，$A（\frac{π}{6}，0）$，B为y轴上的点，D为图象上的最低点，C为该函数图象的一个对称中心，B与E关于点C对称，$\overrightarrow{ED}$在x轴上的投影为$\frac{π}{12}$，则$f（-\frac{π}{6}）$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{ED}$在x轴上的投影为$\frac{π}{12}$，得到$OF=\frac{π}{12}$，根据三角函数的图象和性质分别求出ω 和φ的值即可得到结论．

解答 解：如图，设在点B左侧图象上的与之相邻的最高点为G，
则由$\overrightarrow{ED}$在x轴上的投影为$\frac{π}{12}$，知$\overrightarrow{GB}$在x轴上的投影为$\frac{π}{12}$，即|OF|=$\frac{π}{12}$，
又∵$A（\frac{π}{6}，0）$，∴|AF|=$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$=$\frac{T}{4}$，
即函数的周期T=π，
∵T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴?=2，
即f（x）=sin（2x+φ），
所以$A（\frac{π}{6}，0）$，
∴sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=0
即$\frac{π}{3}$+φ=kπ，
即φ=kπ-$\frac{π}{3}$，
∵0＜φ＜π，
∴当k=1时，φ=π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，∴$f（x）=sin（2x+\frac{2π}{3}）$，
∴$f（-\frac{π}{6}）=sin\frac{π}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象确定ω 和φ的值是解决本题的关键．