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已知函数f(x)=x|x-a|-lnx.
(1)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e]的最大值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
分析:(1)当a=1时,利用导数可判断f(x)在[1,e]上的单调性,由单调性即可求得其最大值;
(2)求出f(x)的定义域,先按(ⅰ)a≤0,(ⅱ)a>0两种情况进行讨论,其中a>0时讨论去绝对值符号,利用导数符号即可判断单调性;
(3)函数f(x)的定义域为x∈(0,+∞),f(x)>0,即|x-a|>
lnx
x
.根据
lnx
x
的符号对x进行分类讨论:x∈(0,1)时,当x=1时,当x>1时,其中x>1时去掉绝对值符号转化为求函数最值即可解决.
解答:解:(1)若a=1,则f(x)=x|x-1|-lnx.
当x∈[1,e]时,f(x)=x2-x-lnx,
f(x)=2x-1-
1
x
=
2x2-x-1
x
>0

所以f(x)在[1,e]上单调增,
f(x)max=f(e)=e2-e-1
(2)由于f(x)=x|x-a|-lnx,x∈(0,+∞).
(ⅰ)当a≤0时,则f(x)=x2-ax-lnx,
f(x)=2x-a-
1
x
=
2x2-ax-1
x

令f′(x)=0,得x0=
a+
a2+8
4
>0
(负根舍去),
且当x∈(0,x0)时,f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)在(0,
a+
a2+8
4
)
上单调递减,在(
a+
a2+8
4
,+∞)
上单调递增.
(ⅱ)当a>0时,
①当x≥a时,f(x)=2x-a-
1
x
=
2x2-ax-1
x

令f′(x)=0,得x1=
a+
a2+8
4
x=
a-
a2+8
4
<a
舍),
a+
a2+8
4
≤a
,即a≥1,则f′(x)≥0,
所以f(x)在(a,+∞)上单调增;
a+
a2+8
4
>a
,即0<a<1,则当x∈(0,x1)时,f′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)在区间(0,
a+
a2+8
4
)
上是单调减,在(
a+
a2+8
4
,+∞)
上单调增.
②当0<x<a时,f(x)=-2x+a-
1
x
=
-2x2+ax-1
x

令f′(x)=0,得-2x2+ax-1=0,记△=a2-8,
若△=a2-8≤0,即0<a≤2
2
,则f′(x)≤0,
故f(x)在(0,a)上单调减;
若△=a2-8>0,即a>2
2

则由f′(x)=0得x3=
a-
a2-8
4
x4=
a+
a2-8
4
,且0<x3<x4<a,
当x∈(0,x3)时,f′(x)<0;当x∈(x3,x4)时,f′(x)>0;当x∈(x4,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)在区间(0,
a-
a2-8
4
)
上是单调减,在(
a-
a2-8
4
a+
a2-8
4
)
上单调增;在(
a+
a2-8
4
,+∞)
上单调减.
综上所述,当a<1时,f(x)的单调递减区间是(0,
a+
a2+8
4
)
,单调递增区间是(
a+
a2+8
4
,+∞)

1≤a≤2
2
时,f(x)单调递减区间是(0,a),单调的递增区间是(a,+∞);
a>2
2
时,f(x)单调递减区间是(0,
a-
a2-8
4
)和(
a+
a2-8
4
,a)
,单调的递增区间是(
a-
a2-8
4
a+
a2-8
4
)
和(a,+∞).
(3)函数f(x)的定义域为x∈(0,+∞).
由f(x)>0,得|x-a|>
lnx
x
.*
(ⅰ)当x∈(0,1)时,|x-a|≥0,
lnx
x
<0
,不等式*恒成立,所以a∈R;
(ⅱ)当x=1时,|1-a|≥0,
lnx
x
=0
,所以a≠1;       
(ⅲ)当x>1时,不等式*恒成立等价于a<x-
lnx
x
恒成立或a>x+
lnx
x
恒成立.
h(x)=x-
lnx
x
,则h′(x)=
x2-1+lnx
x2

因为x>1,所以h'(x)>0,从而h(x)>1.
因为a<x-
lnx
x
恒成立等价于a<(h(x))min,所以a≤1.
g(x)=x+
lnx
x
,则g′(x)=
x2+1-lnx
x2

再令e(x)=x2+1-lnx,则e′(x)=2x-
1
x
>0
在x∈(1,+∞)上恒成立,e(x)在x∈(1,+∞)上无最大值.
综上所述,满足条件的a的取值范围是(-∞,1).
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值及函数恒成立问题,考查分类讨论思想,考查学生分析问题解决问题的能力,综合性强,难度大,对能力要求较高.
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π
2
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π
6
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π
6
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π
3
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π
3
)(x∈R)

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1
3
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求证:f1(x)+f2(x)>
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1
3
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,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
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