Question

已知数列{a_n}是以d为公差的等差数列，数列{b_n}是以q为公比的等比数列．
（1）若数列{b_n}的前n项的和为S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₃+5b₂，求整数q的值；
（2）在（1）的条件下，试问数列{b_n}中是否存在一项b_k，使得b_k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；
（3）若b₁=a₁，b₂=a_s≠a_rb₃=a_t，（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数），求证：数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项．

Answer 1

分析：（1）由题意知，an=2n，bn=2qn-1，由S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，得b₁+b₂+b₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，由此能求出q．
（2）假设数列{b_n}中存在一项b_k，满足b_k=b_m+b_m+1+…+b_m+p-1，因为bn=2n，所以b_k＞b_m+p-1，从而得到k≥m+p，由此能推导出这样的项b_k不存在．
（3）由b₁=a₁，得b₂=b₁q=a₁q=a_s=a_r+（s-r）d，所以d=

ar(q-1)

s-r

．由b3 =b1q2=a1q2=at=ar+(t-r)d，知ar(q+1)(q-1)=ar(q-1)•

t-r

s-r

．由此能够证明数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项．

解答：解：（1）由题意知，an=2n，bn=2qn-1，
所以由S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，
得b₁+b₂+b₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，
∴b₁-4b₂+b₃＜2006-2010，
∴q²-4q+3＜0，
解得1＜q＜3，又q为整数，所以q=2．
（2）假设数列{b_n}中存在一项b_k，
满足b_k=b_m+b_m+1+…+b_m+p-1，
因为bn=2n，
∴b_k＞b_m+p-1，∴2^k＞2^m+p-1，∴k＞m+p-1，∴k≥m+p，（*）
又∵bk=2k=b_m+b_m+1+…+b_m+p-1
=2^m+2^m+1+…+2^m+p-1
=

2m(2p-1)

2-1

=2^m+p-2^m＜2^m+p，
所以k＜m+P，此与  （*）式矛盾．
所以，这样的项b_k不存在．
（3）由b₁=a₁，得b₂=b₁q=a₁q=a_s=a_r+（s-r）d，
则d=

ar(q-1)

s-r

．
又∵b3 =b1q2=a1q2=at=ar+(t-r)d，
∴arq2-ar=(t-r)•

ar(q-1)

S-r

，
从而ar(q+1)(q-1)=ar(q-1)•

t-r

s-r

．
因为a_s≠a_r，b₁≠b₂，所以q≠1，又a_r≠0，故q=

t-r

s-r

-1．
又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数，所以q是正整数，且q≥2．
对于数列{b_n}中任一项b_i（这里只要讨论i＞3的情形），有
b_i=a1qi-1=a1+a1(qi-1-1)
=a1+a1(q-1)(1+q+q2)
=ar+d(s-r)(1+q+q2+…+qi-2)
=ar+[((s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1)-1]•d，
由于（s-r）（1+q+q²+…+q^i-2）+1是正整数，
所以b_i一定是数列{a_n}中的项．
故数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，注意计算能力的培养．