Question

f(x)=x3-

1

2

x2-2x+5，若对任意x∈[0，2]都有f（x）＜m成立，则m的取值范围为（　　）

A．（7，+∞）

B．（8，+∞）

C．[7，+∞）

D．（9，+∞）

Answer 1

分析：将恒成立问题转化成求f（x）的最值问题，求出导函数f′（x）=0的根，求出导函数根所对应的函数值，以及f（0）和f（2），比较大小即可得到函数f（x）的最值，即可求得m的取值范围．

解答：解：对任意x∈[0，2]都有f（x）＜m成立，即f（x）_max＜m对x∈[0，2]恒成立，
∵f(x)=x3-

1

2

x2-2x+5，
∴f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）=0，解得x=-

2

3

（舍），x=1，
∵f（0）=5，f（1）=

7

2

，f（2）=7，
∴f（x）_max=f（2）=7，
∴m的取值范围为m＞7，
故选A．

点评：本题考查了利用导数求函数的最值，函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，解决的方法一般是参变量分离、求最值、数形结合．本题采用了求函数的最值．属于中档题．