Question

12．在平面直角坐标系中，点M是由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+y≥4}\end{array}\right.$，所确定的平面区域内的动点，N是圆x²+y²=1上任意一点，0为坐标原点，则|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|的最小值为2$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 作出平面区域，结合向量的知识和点到直线的距离公式可得．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+y≥4}\end{array}\right.$表示的区域如图阴影，
当M、N分别在图中的位置时，|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|取最小值，
由点到直线的距离公式可得|OM|=$\frac{4}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
∴|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|的最小值为2$\sqrt{2}$-1，
故答案为：2$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查简单线性规划，涉及向量的模长公式和点到直线的距离公式，准确作图并转化是解决问题的关键，属中档题．