Question

【题目】椭圆 的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足|PQ|=2，∠PF2Q=90°，且△PF2Q的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l不经过点A（0，1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∠PF2Q=90°平行四边形PF1QF2为矩形，

|F1F2|=|PQ|=2c=1 ，

又PF1+PF2=2a，得a2=2，b2=1，

椭圆方程： …．

（Ⅱ）解：设直线l：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

则

…．

以MN为直径的圆经过点A，

3m2﹣2m﹣1=0…．

又直线不经过A（0，1），所以m≠1， ，

直线l：y=kx﹣ ，

直线经过定点 …

【解析】（1）由可得出四边形为矩形，再根据椭圆定义，可得椭圆标准方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，可得直线方程,不难得出直线过定点.