Question

（文）已知函数f（x）=

a

a2-2

(ax-a-x)（a＞0，a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在R上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）利用函数单调性的性质，建立不等式关系即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）定义域为R，
则f（-x）=

a

a2-2

(a-x-ax)=-f(x)，
故f（x）是奇函数．
（2）设x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

a

a2-2

(ax1-a-x1)-

a

a2-2

(ax2-a-x2)=

a

a2-2

(ax1-ax2+a-x2-a-x1)=

a

a2-2

(ax1-ax2+

1

ax2

-

1

ax1

)
=

a

a2-2

(ax1-ax2+

ax1-ax2

ax1ax2

)=

a

a2-2

(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)，
即f(x1)-f(x2)=

a

a2-2

(ax1-a-x2)(1+

1

ax1+x2

)，
∵1+

1

ax1ax2

＞0，x₁＜x₂，
∴要使f（x）在R上是单调递增函数，则f（x₁）-f（x₂）＜0，
①当0＜a＜1时，ax1＞ax2，即ax1-ax2＞0，
此时a²-2＜0，
解得-

2

＜a＜

2

，
即0＜a＜1．
②当a＞1时，ax1＜ax2，即ax1-ax2＜0，
此时a²-2＞0，
解得a＞

2

或a＜-

2

，
此时a＞

2

．
综上a＞

2

或0＜a＜1
综上，实数a的取值范围是（0，1）∪（

2

，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．