Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项，第三项，第四项．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意正整数n，均有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=a_n+1，求数列{c_n}的通项公式并计算c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由a₂，a₅，a₁₄成等比数列可得关于d的方程，解出d，根据等差数列的通项公式可求得a_n，易求b₂，b₃，从而可得公比，根据等比数列的通项公式可求得b_n；
（Ⅱ）由

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1，得

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn-1

bn-1

=an（n≥2），两式相减可求得c_n，注意检验n=1时的情形，然后根据等比数列的求和公式可求得答案．

解答：解：（I）设等差数列的公差为d，
由a₂，a₅，a₁₄成等比数列，可得(a5)2=a2•a14，即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
又等比数列{b_n}中b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴公比为3，∴bn=3•3n-2=3^n-1，
∴bn=3n-1；
（ II）由

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1，得

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn-1

bn-1

=an（n≥2），
两式相减得：

cn

bn

=a_n+1-a_n=2，
∴c_n=2b_n=2•3^n-1，n≥2，
n=1时，c₁=a₂•b₁=3，
∴cn=

3 2•3n-1

，
∴c1+c2+c3+…+c2012=3+2(3+32+…+32011)
=3+2×

3(1-32011)

1-3

=3²⁰¹²．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式及数列求和，属中档题，熟记相关公式是解决问题的基础．