Question

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设E为BC的中点，求异面直线AE与DB所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）已知在△ABC中，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°，可得AD⊥DC，AD⊥DB，根据面面垂直的判定定理进行求解；
（2）作辅助线，取DC中点F，连接EF，则EF∥BD，可得∠AEF为异面直线AE与BD所成的角，再根据余弦定理和向量公式进行求解；

解答：解：（1）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ABD，
∴平面ADB⊥平面BDC；
（2）取DC中点F，连接EF，则EF∥BD，
∴∠AEF为异面直线AE与BD所成的角（或其补角），
连接AF，DE，设BD=2，则EF=1，AD=2

3

，DC=6，DF=3，
在△BDC中，BC²=BD²+DC²-2BD•DCcos∠BDC=28，
cos∠DBC=

BD2+BC2-DC2

2BD•BC

=-

1

2 7

，BE=

1

2

BC=

7

，
在△BDE中，DE²=BD²+BE²-2BDBEcos∠DBC=13，
在Rt△ADE中，AE=

AD2+DE2

=5，
在Rt△ADF中，AF=

AD2+DF2

=

21

，
在△AEF中，cos∠AEF=

AE2+EF2-AF2

2AE•EF

=

1

2

，
所以异面直线AE与DB所成角为60°；

点评：此题主要考查面面垂直和异面直线夹角公式的求法，第二问解题的关键是作出辅助线，此题是一道中档题，也是高考必考题；