Question

15．如图所示，在直三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，当直线PN与平面ABC所的角最大时，λ的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论．

解答 解：如图，以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
则P（λ，0，1），$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{1}{2}$，-1），
平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PN}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}}}$，
∴当λ=$\frac{1}{2}$时，（sinθ）_max=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此时角θ最大为arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查使线面角的最大值的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．