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设T_n为数列{a_n}的前n项之积，满足T_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）设 $数学公式$ ，证明数列{b_n}是等差数列，并求b_n和a_n；
（2）设S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²求证：a_n+1- $数学公式$ ＜S_n≤a_n- $数学公式$ ．

解：（1）∵T_n=1-a_n（n∈N^*）． $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴b_n-b_n-1=1，∵T_n=1-a_n，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴数列{b_n}是以2为首项，以1为公差的等差数列，∴b_n=n+1，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
（2）S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
当n≥2时，= $\text{[math]}$
当n=1时， $\text{[math]}$
∴S_n≤a_n- $\text{[math]}$ ，∴a_n+1- $\text{[math]}$ ＜S_n≤a_n- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先利用数列{a_n}的前n项积T_n与通项之间的关系分类讨论写出相邻项满足的关系式，然后两式作商，再利用 $\text{[math]}$ ，利用作差法即可获得数列{b_n}是等差数列．由此可以求的数列{b_n}的通项公式，进而求得Tn然后求得数列{a_n}的通项公式；
（2）S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²= $\text{[math]}$ ，再进行放缩可证．
点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了构造思想、放缩法解决不等式的证问题．

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设T_n为数列{a_n}的前n项之积，满足T_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）设bn=

，证明数列{b_n}是等差数列，并求b_n和a_n；
（2）设S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²求证：a_n+1-

＜S_n≤a_n-

．

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设T_n为数列{a_n}的前n项乘积，满足Tn=1-an(n∈N*)
（1）设bn=

，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设cn=2n•b_n，求证数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）设An=

+…

，求证：an+1-

＜An≤-

．

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设T_n为数列{a_n}的前n项的积，即T_n=a₁•a₂…a_n．
（1）若T_n=n²，求a₃a₄a₅的值；
（2）若数列{a_n}各项都是正数，且满足T_n=

（（n∈N^*），证明数列{log₂a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}共有100项，且满足以下条件：①a₁•a₂…a₁₀₀=2；②等式a₁•a₂…a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=k+2对1≤k≤99，k∈N^*恒成立．试问符合条件的数列共有多少个？为什么？

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