【题目】已知函数.
(1)若函数的图象在点处的切线方程为,求的值;
(2)当时,在区间上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】分析:(1)根据导数的意义,在的切线方程斜率即为,从而得到
n-m=3;又因为切点在直线上,所以。而切点又在曲线方程上,可以得到,所以。
(2)根据函数至少存在一个,使得成立,所以可以根据导函数正负的讨论确定函数的单调性;再在各自单调区间内分析函数的单调性,这样就可以得到,从而确定m的取值范围。
详解:(1)因为,所以,即.
又因为,所以切点坐标为,
因为切点在直线上,所以.
(2)因为,所以 .
当时, ,所以函数在上单调递增,令,此时,符合题意;
当时,令,则,则函数在上单调递减,在上单调递增.
①当,即时,则函数在上单调递减,在上单调递增
,解得.
②当,即时,函数在区间上单调递减,则函数在区间上的最小值为,解得,无解.
综上,,即得取值范围是.
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【题目】某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表:
广告费用x(万元) | 1 | 2 | 4 | 5 |
销售额y(万元) | 6 | 14 | 28 | 32 |
根据上表中的数据可以求得线性回归方程 = x+ 中的 为6.6,据此模型预报广告费用为10万元时销售额为( )
A.66.2万元
B.66.4万元
C.66.8万元
D.67.6万元
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【题目】某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异,从2016级的年龄在18~19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名,测量他们的身高,量出的身高如下(单位:cm):
南方:158,170,166,169,180,175,171,176,162,163.
北方:183,173,169,163,179,171,157,175,184,166.
(1)根据抽测结果,画出茎叶图,对来自南方和北方的大学生的身高作比较,写出统计结论.
(2)设抽测的10名南方大学生的平均身高为cm,将10名南方大学生的身高依次输入如图所示的程序框图进行运算,问输出的s大小为多少?并说明s的统计学意义。
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【题目】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于点M、N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若 =12,其中O为坐标原点,求|MN|.
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【题目】观察下列等式:12=1,12﹣22=﹣3,12﹣22+32=6,12﹣22+32﹣42=﹣10,…由以上等式推测到一个一般的结论:对于n∈N* , 12﹣22+32﹣42+…+(﹣1)n+1n2= .
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.
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【题目】如图,在长方体中,点是棱的中点,点 在棱上,且(为实数).
(1)求二面角的余弦值;
(2)当时,求直线与平面所成角的正弦值的大小;
(3)求证:直线与直线不可能垂直.
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【题目】某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少?
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?
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