Question

如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE．

Answer 1

分析：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如图），连接PQ，要证MN∥平面BCE，只需证明直线MN平行平面BCE内的直线PQ即可．也可以通过平面与平面的平行，即平面MNG∥平面BCE，来证明MN∥平面BCE，

解答：证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如图），连接PQ．
∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ．
又NQ=

2

2

BN=

2

2

CM=MP，∴MPQN是平行四边形．
∴MN∥PQ，PQ?平面BCE．
而MN?平面BCE，
∴MN∥平面BCE．
证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如图），连接NG．
∵MG∥BC，BC?平面BCE，
MG?平面BCE，
∴MG∥平面BCE．
又

BG

GA

=

CM

MA

=

BN

NF

，
∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE．
又面MG∩NG=G，
∴平面MNG∥平面BCE．又MN?平面MNG．∴MN∥平面BCE．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查逻辑思维能力，转化思想，是中档题．