Question

【题目】已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，.

（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；

（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.（2）见解析

【解析】

（1）由题知|PF1|+|PF2|2|F1F2|，判断动点P的轨迹W是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程；（2）设出点P的坐标，再表示出点N和Q的坐标，根据题意求出的值，即可判断结果是否成立．

（1）由题知，，

所以 ，

因此动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

又知，，

所以曲线的标准方程为.

又由题知，

所以 ，

所以，

又因为点在抛物线上，所以，

所以抛物线的标准方程为.

（2）设，，

由题知，所以，即，

所以 ，

又因为，，

所以，

所以为定值，且定值为1.