分析 (1)设M(x,y),利用kAM•kBM=$-\frac{1}{4}$计算即得结论;
(2)通过联立直线与椭圆方程,利用韦达定理、|PQ|2=|0P|2+|OQ|2,计算即得结论.
解答 解:(1)设M(x,y),
∵A(0,-1),B(0,1),
∴kAM=$\frac{y+1}{x-0}$,kBM=$\frac{y-1}{x-0}$,
∵直线AM的斜率与BM的斜率的积是$-\frac{1}{4}$,
∴$\frac{y+1}{x-0}$•$\frac{y-1}{x-0}$=-$\frac{1}{4}$,
整理得:$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$,
∴曲线C的方程为:$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1(x≠0)$;
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=k(x-1)\end{array}\right.$,消去y整理得:
(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$,${x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$,
∵以PQ为直径的圆过坐标原点O,
∴|PQ|2=|0P|2+|OQ|2,
∴$({x}_{1}-{x}_{2})^{2}+({y}_{1}-{y}_{2})^{2}$=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$,
∴x1•x2+y1•y2=x1•x2+k2•(x1-1)(x2-1)
=(1+k2)x1•x2-k2•(x1+x2)+k2
=$\frac{{{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}=0$
∴k=±2.
点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 把a(b+c)与lg(x+y)类比,则lg(x+y)=lgx+lgy | |
B. | 把a(b+c)与sin(x+y)类比,则sin(x+y)=sinx+siny | |
C. | 把a(b+c)与ax+y类比,则ax+y=ax+ay | |
D. | 把a(b+c)与$\overrightarrow{a}•(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})类比,则\overrightarrow{a}•(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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