Question

15．已知点A、B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率的积是$-\frac{1}{4}$．
（1）设M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）若直线y=k（x-1）与该曲线有两个交点P、Q，且以PQ为直径的圆过坐标原点O，求k的值．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），利用k_AM•k_BM=$-\frac{1}{4}$计算即得结论；
（2）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、|PQ|²=|0P|²+|OQ|²，计算即得结论．

解答 解：（1）设M（x，y），
∵A（0，-1），B（0，1），
∴k_AM=$\frac{y+1}{x-0}$，k_BM=$\frac{y-1}{x-0}$，
∵直线AM的斜率与BM的斜率的积是$-\frac{1}{4}$，
∴$\frac{y+1}{x-0}$•$\frac{y-1}{x-0}$=-$\frac{1}{4}$，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴曲线C的方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1（x≠0）$；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$，消去y整理得：
（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，
∴|PQ|²=|0P|²+|OQ|²，
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}$=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+k²•（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁•x₂-k²•（x₁+x₂）+k²
=$\frac{{{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}=0$
∴k=±2．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．