Question

【题目】已知函数 ，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[ ，+∞）
【解析】解：∵函数 ， ∴f′（x）= = = ，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；
若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；
f（x）在x∈（0，2）上有极值，
f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）min=f（1）=﹣ =﹣ ；
∵g（x）=x2﹣2bx+4=（x﹣b）2+4﹣b2 ， 对称轴x=b，x∈[1，2]，
当b＜1时，g（x）在x=1处取最小值g（x）min=g（1）=1﹣2b=4=5﹣2b；
当1＜b＜2时，g（x）在x=b处取最小值g（x）min=g（b）=4﹣b2；
当b＞2时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）min=g（2）=4﹣4b+4=8﹣4b；
∵对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
当b＜1时，﹣ ≥5﹣2b，解得b≥ ，故b无解；当b＞2时，﹣ ≥8﹣4b，解得b≥ ，
综上：b≥ ，
所以答案是：[ ，+∞）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解全称命题的相关知识，掌握全称命题：，，它的否定：，;全称命题的否定是特称命题．