Question

在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点P(3，

2

)，且与x轴交于点F（2，0）．
（I）求直线l的方程；（II）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：（I）由于直线l经过点P(3，

2

)和F（2，0）根据直线方程的两点式可求．
（II）设所求椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2．

=1(a＞b＞0)由焦点为F（2，0），则a²-b²=4又点P(3，

2

)在椭圆

x2

a2

+

y2

b2．

=1(a＞b＞0)上，则

9

a2

+

2

b2

=1，联立方程可求a，b进而可求椭圆的方程．

解答：解：（I）由于直线l经过点P(3，

2

)和F（2，0），
则根据两点式得，所求直线l的方程为

y-0

2 -0

=

x-2

3-2

．…（3分）
即y=

2

(x-2)．
从而直线l的方程是y=

2

(x-2)．…（7分）
（II）设所求椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2．

=1(a＞b＞0)…（8分）
由于一个焦点为F（2，0），则c=2，即a²-b²=4①…（10分）
又点P(3，

2

)在椭圆

x2

a2

+

y2

b2．

=1(a＞b＞0)上，
则

9

a2

+

2

b2

=1②…（12分）
由①②解得a²=12，b²=8．
所以所求椭圆的标准方程为

x2

12

+

y2

8

=1…（14分）

点评：本题主要考查了直线方程的两点式的应用，及利用椭圆的性质求解椭圆的方程，属于一般的性质应用及基本计算型的试题．