Question

4．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2$\sqrt{2}$．
（1）求异面直线PB与直线AC所成角；
（2）在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为$\frac{2\sqrt{6}}{9}$，若存在，指出点Q的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得矩形ABCD是正方形，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB与直线AC所成角的大小．
（2）设$\overrightarrow{DQ}=λ\overrightarrow{DP}$，0≤λ≤1，求出平面PBD的法向量，由CQ与平面PBD所成的角的正弦值为$\frac{2\sqrt{6}}{9}$，利用向量法能求出存在Q符合要求，且$\overrightarrow{DQ}=\frac{1}{4}\overrightarrow{DP}$．

解答 解：（1）∵棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，
∴AB=AD=2，矩形ABCD是正方形，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
∴$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），
cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，
∴异面直线PB与直线AC所成角为$\frac{π}{3}$．
（2）∵Q在DP上，∴设$\overrightarrow{DQ}=λ\overrightarrow{DP}$，0≤λ≤1，
∵$\overrightarrow{DP}=（0，-2，2）$，
∴$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DQ}$=$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{DP}$=（0，2，0）+（0，-2λ，2λ）=（0，2-2λ，2λ），
∴Q（0，2-2λ，2λ），$\overrightarrow{CQ}$=（-2，-2λ，2λ），=2（-1，-λ，λ），
设平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
设CQ与平面PBD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CQ}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{CQ}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CQ}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{1}{\sqrt{3}•\sqrt{1+2{λ}^{2}}}$，
∵CQ与平面PBD所成的角的正弦值为$\frac{2\sqrt{6}}{9}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{3}•\sqrt{1+2{λ}^{2}}}=\frac{2}{9}\sqrt{6}$，整理，得${λ}^{2}=\frac{1}{16}$，
∵0≤λ≤1，∴$λ=\frac{1}{4}$，
∴存在Q符合要求，且$\overrightarrow{DQ}=\frac{1}{4}\overrightarrow{DP}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．