Question

某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500)

，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

Answer 1

考点：不等式的实际应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；
（Ⅱ）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）当x∈[200，300）时，该项目获利为S，则
S=200x-（

1

2

x²-200x+80000）=-

1

2

（x-400）²，
∴当x∈[200，300）时，S＜0，因此，该项目不会获利
当x=300时，S取得最大值-5000，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；

（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：

y

x

=

1 3 x2-80x+5040，x∈[120，144) 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500)

．
当x∈[120，144）时，

y

x

=

1

3

（x-120）²+240
所以当x=120时，

y

x

取得最小值240；    
当x∈[144，500）时，

y

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x• 80000 x

-200=200
当且仅当

1

2

x=

80000

x

，即x=400时，

y

x

取得最小值300
因为200＜240，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

点评：知识点基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用，考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定函数关系式．