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某公司为了变废为宝,节约资源,新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为:y=
1
3
x3-80x2+5040x,x∈[120,144)
1
2
x2-200x+80000,x∈[144,500)
,且每处理一吨生活垃圾,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将给予补贴.
(Ⅰ)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?
(Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
考点:不等式的实际应用
专题:应用题,函数的性质及应用
分析:(Ⅰ)先确定该项目获利的函数,再利用配方法确定不会获利,从而可求政府每月至少需要补贴的费用;
(Ⅱ)确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数,分别求出分段函数的最小值,即可求得结论.
解答: 解:(Ⅰ)当x∈[200,300)时,该项目获利为S,则
S=200x-(
1
2
x2-200x+80000)=-
1
2
(x-400)2
∴当x∈[200,300)时,S<0,因此,该项目不会获利
当x=300时,S取得最大值-5000,所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损;

(Ⅱ)由题意可知,生活垃圾每吨的平均处理成本为:
y
x
=
1
3
x2-80x+5040,x∈[120,144)
1
2
x+
80000
x
-200,x∈[144,500)

当x∈[120,144)时,
y
x
=
1
3
(x-120)2+240
所以当x=120时,
y
x
取得最小值240;    
当x∈[144,500)时,
y
x
=
1
2
x+
80000
x
-200≥2
1
2
x•
80000
x
-200=200
当且仅当
1
2
x=
80000
x
,即x=400时,
y
x
取得最小值300
因为200<240,所以当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.
点评:知识点基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用,考查函数模型的构建,考查函数的最值,考查利用数学知识解决实际问题,解题的关键是确定函数关系式.
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x2
2
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π
2
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x-
π
4
 0
π
12
π
4
π
2
4
y01
3
2
 2 1 0
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
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π
4
,0),B(-
π
4
,0),对于函数f(x)图象上的点P(x1,f(x1))(-
π
4
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π
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3
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2
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