Question

（2012•四川）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，常数λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a₁＞0，λ=100，当n为何值时，数列{lg

1

an

}的前n项和最大？

Answer 1

分析：（I）由题意，n=1时，由已知可知a₁（λa₁-2）=0，分类讨论：由a₁=0，及a₁≠0，结合数列的和与项的递推公式可求
（II）由a₁＞0且λ=100时，令bn=lg

1

an

，则bn=lg

100

2n

=2-nlg2，结合数列的单调性可求和的最大项

解答：解（I）当n=1时，λ a12 =2s1=2a1
∴a₁（λa₁-2）=0
若取a₁=0，则s_n=0，a_n=s_n-s_n-1=0
∴a_n=0（n≥1）
若a₁≠0，则a1=

2

λ

，当n≥2时，2a_n=

2

λ

+sn，2an-1=

2

λ

+sn-1
两式相减可得，2a_n-2a_n-1=a_n
∴a_n=2a_n-1，从而可得数列{a_n}是等比数列
∴a_n=a₁•2^n-1=

2

λ

•2n-1=

2n

λ

综上可得，当a₁=0时，a_n=0，当a₁≠0时，an=

2n

λ

（II）当a₁＞0且λ=100时，令bn=lg

1

an

由（I）可知bn=lg

100

2n

=2-nlg2
∴{b_n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₆=lg

100

26

=lg

100

64

＞0
当n≥7时，bn≤b7=lg

100

27

=lg

100

128

＜0
∴数列{lg

1

an

}的前6项和最大

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．