Question

【题目】在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

（1）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图所示，

∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，∴△BAC、△EAC都是等腰三角形，

∴BD⊥AC，ED⊥AC．

∵EF∥DB，∴E、F、B、D四点共面，这样，AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，

∴AC⊥平面EFBD．

显然，FB平面EFBD，∴AC⊥FB

（2）

解：已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，则OG∥EF，∵OG∥BD，

∴OG∥BD，而BD平面ABC，∴OG∥平面ABC．

同理，OH∥BC，而BC平面ABC，∴OH∥平面ABC．

∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．

【解析】（1）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB．（2）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC．；本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题．