Question

2．已知函数f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当方程f（x）-4a=0在闭区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上有两个不同的根时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由题意，函数f（x）的图象和直线y=4a在闭区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上有两个不同的交点，由于f（x）在[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{12}$]上是减函数，在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]上是增函数，而f（-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{4}$，f（-$\frac{π}{12}$）=-$\frac{1}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，可得4a＞-$\frac{1}{2}$，且4a≤-$\frac{1}{4}$，求得a的范围．

解答 解：（1）由已知函数f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
故函数的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）当方程f（x）-4a=0在闭区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上有两个不同的根时，
等价于函数f（x）的图象和直线y=4a在闭区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上有两个不同的交点，
由于f（x）在[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{12}$]上是减函数，在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]上是增函数，而f（-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{4}$，f（-$\frac{π}{12}$）=-$\frac{1}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
故4a＞-$\frac{1}{2}$，且4a≤-$\frac{1}{4}$，求得-$\frac{1}{8}$＜a≤-$\frac{1}{16}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化的数学思想，属于中档题．