Question

14．△ABC中，角A，B，C的对分别为a，b，c，且a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b．
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）求cosB的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，结合条件，即可证明a，b，c成等差数列；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求cosB的最小值．

解答 （1）证明：由正弦定理得sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB
⇒sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB
⇒sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB
⇒sinA+sinC=2sinB．
由正弦定理知a+c=2b，
所以a，b，c成等差数列．  …（6分）
（2）解：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3{a}^{2}+3{c}^{2}-2ac}{8ac}$=$\frac{3}{8}$•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac}$-$\frac{1}{4}$
≥$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
所以当a=c时，（cosB）_min=$\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．