Question

【题目】已知命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+1≤0的解集为；命题q：方程 表示焦点在y轴上的椭圆；若命题q为真命题，p∨q为真命题．
（1）求实数a的取值范围；
（2）判断方程（a+1）x2+（1﹣a）y2=（a+1）（1﹣a）所表示的曲线的形状．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得 若P为真，则△=（a﹣1）2﹣4＜0﹣1＜a＜3

若q为真，则a＞2；

又命题q为真命题，p∨q为真命题得，p为真q为假

∴ ﹣1＜a≤2

（2）解：由（1）得﹣1＜a≤2

∴①当a=1时，方程表示一条直线，即y轴；

②当﹣1＜a＜0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；

③当a=0时，方程表示单位圆；

④当0＜a＜1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；

⑤当1＜a≤2时，方程表示焦点在y轴上的双曲线

【解析】（1）若命题q为真命题，p∨q为真命题．则p为真q为假，进而可得实数a的取值范围；（2）结合圆锥曲线和圆方程的特点，对a进行分类讨论，可得答案．
【考点精析】本题主要考查了复合命题的真假和命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真；两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．