Question

如图，底面是矩形的四棱锥P-ABCD中AB=2，BC=

2

5

，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离．

Answer 1

分析：（1）证明BC⊥侧面PAB，利用面面垂直的判定，可得侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）取AB中点E，连接PE、CE，则∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角，在Rt△PEC中，可求∠PCE；
（3）证明AB∥侧面PCD，取CD中点F，连EF、PF，证明AB⊥平面PEF，从而可得平面PCD⊥平面PEF，作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD，利用等面积可得结论．

解答：（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB   
又∵面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥侧面PAB  
又∵BC?侧面PBC
∴侧面PAB⊥侧面PBC                                （4分）
（2）解：取AB中点E，连接PE、CE  

又∵△PAB是等边三角形，∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD，∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角
∵PE=

3

2

BA=

3

，CE=

BE2+BC2

=

3

∴在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求                          （8分）
（3）解：在矩形ABCD中，AB∥CD
∵CD?侧面PCD，AB?侧面PCD，∴AB∥侧面PCD
取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB    
又∵PE⊥AB，PE∩EF=E，∴AB⊥平面PEF   
又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PEF
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PEF    
作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=

PE•EC

PF

=

30

5

为所求．（12分）

点评：本题考查面面垂直，考查线面角，考查线面距离，掌握面面垂直的判定，正确作出线面角是关键．