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如图,底面是矩形的四棱锥P-ABCD中AB=2,BC=
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,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.
(1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC;
(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角;
(3)求直线AB与平面PCD的距离.
分析:(1)证明BC⊥侧面PAB,利用面面垂直的判定,可得侧面PAB⊥侧面PBC;
(2)取AB中点E,连接PE、CE,则∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角,在Rt△PEC中,可求∠PCE;
(3)证明AB∥侧面PCD,取CD中点F,连EF、PF,证明AB⊥平面PEF,从而可得平面PCD⊥平面PEF,作EG⊥PF,垂足为G,则EC⊥平面PCD,利用等面积可得结论.
解答:(1)证明:在矩形ABCD中,BC⊥AB   
又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥侧面PAB  
又∵BC?侧面PBC
∴侧面PAB⊥侧面PBC                                (4分)
(2)解:取AB中点E,连接PE、CE  

又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD,∴PE⊥面ABCD,∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角
PE=
3
2
BA=
3
,CE=
BE2+BC2
=
3

∴在Rt△PEC中,∠PCE=45°为所求                          (8分)
(3)解:在矩形ABCD中,AB∥CD
∵CD?侧面PCD,AB?侧面PCD,∴AB∥侧面PCD
取CD中点F,连EF、PF,则EF⊥AB    
又∵PE⊥AB,PE∩EF=E,∴AB⊥平面PEF   
又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PEF
∵CD?平面PCD,∴平面PCD⊥平面PEF    
作EG⊥PF,垂足为G,则EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中,EG=
PE•EC
PF
=
30
5
为所求.(12分)
点评:本题考查面面垂直,考查线面角,考查线面距离,掌握面面垂直的判定,正确作出线面角是关键.
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(1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC;

(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角;

(3)求直线AB与平面PCD的距离.

 

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(1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC;
(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角;
(3)求直线AB与平面PCD的距离.

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