Question

如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA₁=2,E是DD₁的中点,F是平面B₁C₁E与直线AA₁的交点.

(1)证明:①EF∥A₁D₁;②BA₁⊥平面B₁C₁EF.
(2)求BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值.

Answer 1

（1）见解析  （2）

(1)证明:①因为C₁B₁∥A₁D₁,C₁B₁?平面ADD₁A₁,
所以C₁B₁∥平面A₁D₁DA.
又因为平面B₁C₁EF∩平面A₁D₁DA=EF,
所以C₁B₁∥EF,所以A₁D₁∥EF.
②因为BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁,所以BB₁⊥B₁C₁.
又因为B₁C₁⊥B₁A₁,所以B₁C₁⊥平面ABB₁A₁,
所以B₁C₁⊥BA₁.
在矩形ABB₁A₁中,F是AA₁的中点,
tan∠A₁B₁F=tan∠AA₁B=,
即∠A₁B₁F=∠AA₁B,
故BA₁⊥B₁F.
所以BA₁⊥平面B₁C₁EF.
(2)解:设BA₁与B₁F交点为H,连接C₁H.
由(1)知BA₁⊥平面B₁C₁EF,
所以∠BC₁H是BC₁与平面B₁C₁EF所成的角.
在矩形AA₁B₁B中,AB=,AA₁=2,得BH=.
在Rt△BHC₁中,BC₁=2,BH=,得
sin∠BC₁H==.
所以BC₁与平面B₁C₁EF所成角的正弦值是.